Elektronika

Maturitní otázky

JEDNODUCHÉ REZONANČNÍ OBVODY

16.Jednoduché rezonanční obvody

                Jednoduché rezonanční obvody vznikají spojením rezistoru s činným odporem, cívky a kondenzátoru jedním ze způsobů nakreslených na obr. 188. Je zřejmé, že obvod vytvořený kterýmkoli z uvedených způsobů je opět komplexní jednobran, avšak při jedné, tzv. rezonanční frekvence se v obvodu navzájem vyrovná působení indukční a kapacitní reaktance na fázový posun mezi celkovým proudem procházejícím do obvodu a napětím mezi svorkami 1,1'. Celý obvod se při této frekvenci chová jako činný odpor.

Stav obvodu, který nastane při rezonanční frekvenci se nazývá rezonance.

Sériový rezonanční obvod

Jak je naznačeno na následujícím obrázku, vyvolává procházející proud I na jednotlivých částech obvodu úbytky napětí U_R, U_L, U_C, které můžeme vyjádřit vztahy

U_R = R_S I                 U_L = jwLI               U_C =

Odpovídající fázorové diagramy jsou na následujícím obrázku. Všimněme si toho, že při frekvenci f < f_o je |U_L| < |U_C| a celkový fázový posuv j < 0 – impedance má kapacitní charakter. Při f > f₀ je |U_L| > |U_C|,j > 0 – impedance má indukční charakter. Je-li f = f₀, je obvod v rezonanci – |U_L| = |U_C| a j = 0.

Impedance obvodu

Celková impedance sériového rezonančního obvodu se rovná

Rezonanční frekvence

Podle definice rezonance musí být pro w = w₀ impedance Z reálná. To znamená, že její imaginární součet musí být pro tuto frekvenci rovna nule

Odtud dostáváme Thompsonův vztah pro výpočet rezonanční frekvence

w₀ =  nebo f₀ =

Činitel jakosti sériového rezonančního obvodu

V součástkách skutečného rezonančního obvodu vznikají při průchodu proudu ztráty. Tyto ztráty můžeme vzít v úvahu zařazením ztrátových odporů R_L a R_C do série s cívkou a kondenzátorem, které pak již považujeme za bezeztrátové. Oba odpory dohromady dávají ztrátový odpor R_S0 = R_L + R_C, jehož pomocí definujeme pro rezonanční frekvenci činitel sériového obvodu naprázdno Q₀.

Q₀= nebo Q₀=

Kdybychom znali pro frekvenci f₀ činitel jakosti cívky Q_l a kondenzátoru Q_c = 1 / tg d, mohli bychom, jak lze dokázat dosazením do následujícího vztahu, vypočítat Q₀ celého obvodu ze vztahu

V provozních podmínkách, kdy je obvod napájen ze zdroje signálu s vnitřním odporem Ri, popř. je-li v sérii s cívkou a kondenzátorem další rezistor R, působí všechny sériové odpory na vlastnosti obvodu souhlasně a tvoří dohromady již dříve popsaný odpor R_s

R_s = R_s0 + R + R_i

Činitel jakosti, respektující všechny tyto odpory, se nazývá provozní činitel jakosti. Můžeme ho vypočítat ze vztahu : Q = nebo Q =

Protože R_s je větší než R_so, je činitel jakosti Q menší vždy než činitel jakosti Qo.

Z předcházející úvahy plyne důležitý požadavek pro praxi: Abychom vlivem vnitřního odporu zdroje příliš nezmenšili činitel jakosti, musíme sériové rezonanční obvody napájet ze zdrojů s malým vnitřním odporem.

Rezonanční impedance

Z definice rezonance plyne, že při rezonanční frekvenci je celková impedance obvodu reálná. Označuje se Z_o a nazývá se rezonanční impedance. Zřejmě platí Z₀ = R_s

Působí-li v rezonanci na celém obvodu napětí U, je proud procházející do obvodu

a napětí na jednotlivých reaktancích

V rezonanci je na obou reaktancích Q-krát větší napětí, než je na celém sériovém rezonančním obvodu. Tohoto principu využívá přístroj Q-metr.

Rezonanční křivka sériového rezonančního obvodu

Nakreslíme-li  frekvenční závislost absolutní hodnoty impedance sériového rezonančního obvodu

Z

získáme jedno z možných znázornění jeho rezonanční křivky. Obrázek  ukazuje rezonanční křivky tří obvodů s různými rezonančními frekvencemi a činiteli jakosti. Dohře ale povšimněte toho, že obvody, které mají velký činitel jakosti Q, mají křivku úzkou, minimum impedance v rezonanci je ostře  vyjádřeno  a rezonanční impedance je malá. Zcela obráceně je tomu u obvodů s malým činitelem jakosti Q.

Šířka pásma rezonančního obvodu

Šířka pásma B je veličina důležitá při použití rezonančních obvodů v praxi. Je to frekvenční rozdíl f₂ - f₁, odpovídající určité domluvené změně impedance obvodu vzhledem k impedanci Z₀. Často se definuje pro změnu impedance o 3dB, tj. pro velikost |Z| = Z_{0 .} Šířka pásma je nepřímo úměrná jejich jakosti.

Poměrné vyjádření rezonanční křivky

a) poměrné znázornění                       b) poměrné rozladění

Abychom mohli snadno porovnávat vlastnosti jednotlivých rezonančních obvodů, znázorňujeme jejich rezonační křivky v poměrném měřítku. V praxi se nejčastěji používá vyjádření rezonanční křivky pomocí poměrného rozladění.

F =

Pro rezonanční frekvenci je F = 0. Při f = 0 je F = -¥ s při f = ¥ je F = +¥. Známe-li velikost poměrného rozladění F, můžeme vypočítat odpovídající frekvenci ze vztahu

Který lze získat výpočtem frekvence f z definiční rovnice pro poměrné rozladění F. Odvozením dostaneme vztah

Tento vztah představuje rovnici poměrné impedance obvodu v komplexním tvaru. Další vztah je rovnice poměrné rezonanční křivky. Fáze je fázová charakteristika sériového rezonančního obvodu.

        j=arctgQF

Rezonanční křivka vychází v tomto znázornění souměrná kolem svislé osy nakreslené v rezonanční frekvenci. Změna poměrné impedance o 3dB nastane pro QF = ±1, takže okrajům pásma odpovídají poměrná rozladění a fázové úhly ±45^o.

Paralelní rezonanční obvod

Napětí U, působící mezi svorkami 1, 1'  paralelního obvodu, vytváří celkový proud I, který se dělí na proudy jednotlivých větví. Pro obvod nakreslený dále  platí

První obrázek je kreslen pro f < f_o - fázový posun  je kladný a obvod má indukční charakter. Druhý obrázek je pro frekvenci f > f_o. Fázový posun je záporný a obvod má kapacitní  charakter. Třetí obrázek je při rezonanci a pak |I_L| = |I_C| a j = 0.

Položíme-li Im Y = 0 a w = w₀ odtud odvodíme pro rezonanční frekvenci stejný vztah jako pro obvod sériový

w₀= nebo f₀=

Činitel jakosti paralelního rezonančního obvodu

Ztráty vyjadřujeme paralelními ztrátovými odpory cívky a kondenzátoru.

 nebo pomocí činitele jakosti cívky a kondenzátoru

V praxi je obvod připojen ke zdroji s vnitřním odporem R_i a k zátěži R_z. Tyto odpory tvoři vnější tlumící odpor , který se paralelně řadí ke ztrátovému odporu R_p0 a zmenšuje činitel jakosti a vypočítává se ze vztahů

kde R_p je paralelní kombinace odporů R_p0 a R_tl. Porovnáním Q a Q₀ dostaneme

ze kterého plyne

 a

Oba poslední vztahy lze použít i v případech, kdy jde o připojení dalšího tlumícího rezistoru k rezonančnímu obvodu. Místo činitele jakosti Q₀ dosazujeme provozní činitel jakosti Q

Cirkulační proud v cívce a kondenzátoru v rezonanci

Rezonanční impedance Z_o = R_p. Působí-li na obvodu napětí U je celkový proud procházející obvodem v rezonanci

Zároveň prochází indukční větví proud

a kapacitní větví proud

Rezonanční křivka

Nejčastěji požíváme poměrné vyjádření rezonanční křivky pomocí rozladění F

F=

 Odpovídající rovnici získáme z admitance

Výpočtem dostaneme

 a

Průběhy získané výpočtem jsou na následujícím obrázku.

Šířka pásma

Šířka pásma je rozdíl frekvencí, odpovídající domluvené změně impedance obvodu proti impedanci rezonanční. Většinou se užívá změna o 3dB.

Odvozený vztah se také často používá pro určení činitele jakosti z naměřené rezonanční křivky, neboť

Selektivnost obvodu

Schopnost rezonančního obvodu vybrat z mnoha frekvencí tu, na kterou je obvod naladěn se nazývá selektivnost obvodu. Číselně se selektivnost určuje poměrem

Další kritériem dovolujícím posoudit selektivnost obvodu je strmost boků rezonanční křivky. Její mírou je k, který porovnává šířku pásma obvodu při poklesu jeho impedance o 60dB s šířkou pásma poklesu o 6dB.

Pro obvody s velkým činitelem jakosti je činitel tvaru křivky definován vztahem

Pro obvody s menším činitelem jakosti pak

Jak můžeme zjistit dosazením do posledních dvou vztahů, mají všechny jednoduché rezonanční obvody stejný činitel tvaru rezonanční křivky . Znamená to, že při určité požadované šířce pásma a dané rezonanční frekvenci jsou již tvar rezonanční křivky i selektivnost obvodu zcela určeny a není možné je bez ovlivnění B nebo f_o změnit.

V mnoha případech jsou na selektivnost obvodů, kterými prochází signál, kladeny tak velké požadavky, že jo není možné splnit použitím jednoduchých rezonančních obvodů, (Např. obvody pracující v mezifrekvenčních zesilovačích rozhlasových přijímačů, v různých filtrech ve sdělovací technice po vedeních, v mnoha měřicích přístrojích atd.) V těch případech používáme obvody, u kterých je možné měnit strmost boků frekvenční charakteristiky absolutní hodnoty impedance nezávisle na šířce požadovaného frekvenčního pásma a na velikosti frekvencí, které obvodem procházejí. Příkladem jsou vázané rezonanční obvody. Velmi selektivní obvody mají frekvenční charakteristiku absolutní hodnoty impedance blízkou obdélníku. Činitel tvaru k jejich frekvenční charakteristiky je jen o málo větší než 1.

Univerzální rezonanční křivka ( pro SRO a PRO )

Vztahy pro absolutní hodnotu a fázi poměrné impedance PRO

 a j = - arctgQF

Jak plyne z obrázku rezonanční křivky a fázových charakteristik PRO, je možné pomocí těchto rovnic nakreslit pro každý činitel jakosti samostatný průběh rezonanční křivky a fázové charakteristiky. Vyneseme-li však na vodorovnou osu místo poměrného rozladění F součin QF, získáme pro všechny paralelní rezonanční obvody univerzální průběhy, které jsou znázorněny na následujícím obrázku, jsou stejné závislosti vyjádřeny v decibelech, a logaritmickou stupnicí na vodorovné ose. Napišme vedle sebe vztahy pro absolutní hodnotu a fázi poměrné impedance paralelních (použijeme zde pro rozlišení index p) a sériových (index s) rezonančních obvodů.

j_p = - arctg QF                                     j_s = - arctg QF

Ze vzájemného porovnání odpovídajících vztahů plyne, že absolutní hodnota poměrné impedance sériových obvodů je převrácenou hodnotou absolutní hodnoty poměrné impedance obvodů paralelních. Fázové úhly pro stejná rozladění obou obvodů se liší pouze znaménkem.

Zobrazení frekvenční závislosti poměrné impedance rezonančních obvodů v Gaussově rovině

Pro sériový obvod bylo odvozeno 

Reálná část se rovná jedné. Proto bude frekvenční závislost Z / Z_o v Gaussově rovině představována přímkou rovnoběžnou se svislou osou a procházející bodem 1 na reálné ose.

Ze vztahu , který platí pro PRO plyne po rozvedení do složkového tvaru

      a 

Dosazením do těchto bodů získáme souřadnice bodů v Gaussově. Jde o kružnici se středem v bodě 1/2 na reálné ose a s poloměrem 1/2.